Phương trình bậc hai một ẩn số là một trong những kiến ​​thức quan trọng trong chương trình toán THCS. Vì vậy, hôm nay Ant Guru xin giới thiệu đến bạn đọc một bài viết về chủ đề này. Bài viết sẽ tổng hợp các lý thuyết cơ bản, đồng thời đưa ra các dạng toán thường gặp và ví dụ áp dụng một cách chi tiết, rõ ràng. Đây là chủ đề phổ biến, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh. Hãy cùng Kiến Guru khám phá nhé:

1. Phương trình bậc hai một ẩn – Lý thuyết.

1.1. Phương trình bậc hai chưa biết là gì?

Cho phương trình sau: ax ² +bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc hai với ẩn x.

Công thức giải: Ta gọi =b ² -4ac. Sau đó:

• Δ>0: phương trình có 2 nghiệm: .

• Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
• Δ<0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính ‘=b’ ² -ac, giống như trên:

• Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• ‘=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
• Δ'<0: phương trình vô nghiệm.

1.2. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc hai một ẩn.

Cho phương trình bậc hai một ẩn số: ax ² +bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x _{Đầu tiên} và x ₂ , bây giờ mối quan hệ sau được thỏa mãn:

Dựa vào hệ thức trên ta có thể vận dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x _{Đầu tiên} và x ₂

• x _{Đầu tiên} +x ₂ =-b/a
• x _{Đầu tiên} ² +x ₂ ² =(x _{Đầu tiên} +x ₂ ) ² -2x _{Đầu tiên} x ₂ =(b ² -2ac)/a ²
• 
• …

Bình luận : Đối với dạng này ta cần biến đổi biểu thức sao cho xuất hiện (x _{Đầu tiên} +x ₂ ) và x _{Đầu tiên} x ₂ để áp dụng hệ thống Việt Nam.

Định lý đảo Việt : Giả sử tồn tại hai số thực x _{Đầu tiên} và x ₂ hài lòng 😡 _{Đầu tiên} +x ₂ = S, x _{Đầu tiên} x ₂ = P thì x _{Đầu tiên} và x ₂ là 2 nghiệm của phương trình x ² -Sx+P=0

1.3. Một số ứng dụng phổ biến của định lý Viet trong giải toán:

• Nghĩ về phương trình bậc hai: cho phương trình ax ² +bx+c=0 (a≠0),
  • Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x _{Đầu tiên} =1 và x ₂ =c/a
  • Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x _{Đầu tiên} = -1 và x ₂ =-c/a

• Đa thức nhân tử: đối với đa thức P(x)=ax ² +bx+c nếu x _{Đầu tiên} và x ₂ là nghiệm của phương trình P(x)=0 thì đa thức P(x)=a(x-x .) _{Đầu tiên} )(x-x ₂ )
• Xác định dấu các nghiệm: cho phương trình ax ² +bx+c=0 (a≠0), giả sử x _{Đầu tiên} và x ₂ là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet ta có:

• Nếu S<0, x1 và x ₂ trái dấu.
• Nếu S>0, x _{Đầu tiên} và x ₂ cùng một dấu hiệu:
  • P>0, cả hai nghiệm đều dương.
  • P<0, hai nghiệm cùng âm.

Nắm vững kiến ​​thức về phương trình bậc hai một ẩn và cách vận dụng vào môn Toán dễ dàng, đạt điểm 8+. Nhấn vào đây để tìm hiểu thêm về khóa học: Đột phá điểm 8+ Toán lớp 10 . Đồng hành cùng các em là thầy Mạnh đã có hơn 6 năm kinh nghiệm giảng dạy luyện thi đại học. Đặc biệt, Nhà Kiến gửi đến bạn ƯU ĐÃI 73% HƯỚNG DẪN khi bạn đăng ký ngay hôm nay!

2. Dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn số:

2.1. Dạng 1: Bài tập về phương trình bậc hai không xuất hiện tham số.

Để giải phương trình bậc hai, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, sau đó áp dụng điều kiện và công thức nghiệm đã nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1. x ² -3x+2=0
2. x ² +x-6=0

Dạy:

1. =(-3) ² -4,2=1. Vì thế

Ngoài ra ta có thể áp dụng một cách tính nhanh: thông báo

Rút ra phương trình có nghiệm là x _{Đầu tiên} =1 và x ₂ =2/1=2

1. =1 ² -4.(-6)=25. Vì thế

Tuy nhiên, ngoài phương trình bậc hai đầy đủ, ta còn xét các trường hợp đặc biệt sau:

Thuật ngữ phương trình khuyết tật.

Khiếm khuyết thuật ngữ thứ tự đầu tiên: rìu ² +c=0 (1).

Phương pháp:

• 
• Nếu -c/a>0, giải pháp là:

• Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
• Nếu -c/a<0 thì phương trình vô nghiệm.

khiếm khuyết hạn miễn phí: rìu ² +bx=0 (2). Phương pháp:

• 

Ví dụ 2: Giải phương trình:

1. x ² -4=0
2. x ² -3x=0

Dạy:

1. x ² -4=0x ² =4 x=2 hoặc x=-2
2. x ² -3x=0 x(x-3)=0 x=0 hoặc x=3

Phương trình được chuyển đổi về dạng bậc hai.

phương trình bậc hai : cây rìu ⁴ +bx ² +c=0 (a≠0):

• Đặt t=x ² (t≥0).
• Phương trình đã cho có dạng: at ² +bt+c=0
• Giải như phương trình bậc hai bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Tìm điều kiện để phân thức (điều kiện để mẫu số khác không).
• Ngưng tụ khử mẫu.
• Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý: phương pháp cài đặt t=x ² (t≥0) được gọi là phương trình đặt ẩn phụ. Ngoài cách đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán cần khéo léo chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất để đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc hai quen thuộc. Ví dụ: chúng ta có thể đặt t=x+1, t=x ² +x, t=x ² -Đầu tiên…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1. 4x ⁴ -3x ² -1=0
2. 

Dạy:

1. Đặt t=x ² (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t ² -3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

• t=1 x ² =1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
• t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

1. Chúng ta có:

2.2. Dạng 2: Phương trình bậc hai một ẩn số.

Thảo luận về số nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương pháp: Dùng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx ² -5x-m-5=0 (*)

Dạy:

Xét m=0 thì (*) -5x-5=0 x=-1

Xét m≠0 thì (*) là phương trình bậc hai theo x.

• 
• Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
  • Δ=0  ⇔ m=-5/2 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
  • Δ>0 ⇔ m≠-5/2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Phương pháp: Để thỏa mãn yêu cầu của bài toán thì trước hết phương trình bậc hai phải có nghiệm. Vì vậy, chúng tôi làm theo các bước sau:

• Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
• Dựa vào định lí Viet ta nhận được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu.

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm:

Dạy:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

Sau đó, gọi x _{Đầu tiên} và x ₂ là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo chủ đề:

Thử lại:

• Khi m=5, =-7 < 0 (loại)
• Khi m=-3, =9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu bài toán.

Trên đây là tổng hợp của Ant Guru về phương trình bậc hai một ẩn số . Hy vọng qua bài viết này các bạn đã hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc củng cố kiến ​​thức của bản thân, các em còn rèn luyện tư duy giải các bài toán về phương trình bậc hai. Bạn cũng có thể tham khảo các bài viết khác trên trang của Kien Guru để tìm hiểu thêm. Khám phá thêm nhiều kiến ​​thức mới. Chúc bạn sức khỏe và học tập tốt!