Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình với đầy đủ các dạng toán: di chuyển , năng suất , làm chung – làm riêng , phần trăm , mối quan hệ giữa các số , bài toán hình học …

Bây giờ, hãy bắt đâù!

Đầu tiên, chúng ta cần nhắc lại các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Xem thêm:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất

Giải toán bằng cách lập phương trình – Toán 9 đầy đủ các dạng

Các bước Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Về cơ bản, các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình không khác nhiều so với việc giải một bài toán bằng cách lập phương trình.

Khác với điều đó, nó chỉ là thêm một phương trình chỉ hơn.

Các dạng toán giải bằng cách lập hệ phương trình

Loại 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình chuyển động

Phương pháp giải:

Video bài giảng giải toán bằng hệ thức:

Bây giờ chúng ta sẽ thực hành giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình qua các ví dụ sau.

Ví dụ về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình: (SGK Toán 9 tập 2)

Một chiếc xe tải đi từ TP. Hồ Chí Minh đến TP.HCM. Cần Thơ, quãng đường dài 189 km. Sau khi xe tải khởi hành 1 giờ, một xe khách xuất phát từ TP.HCM. Cần Thơ đến TP. Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn ô tô tải 13 km.

Hướng dẫn giải:

Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng cách lập hệ phương trình!

Ta sẽ tiến hành lập bảng để thấy rõ mối quan hệ giữa các đại lượng.

Quy tắc lập bảng như sau: cột đầu tiên là đồ vật/phương tiện/nhóm/người tham gia hoạt động, cột tiếp theo sẽ là các đại lượng ví dụ trong bài học này, tức là các cột s, v, t.

Bài toán hỏi vận tốc của từng xe thì các em điền vào ô vận tốc xe tải, vận tốc xe khách tương ứng là x, y (>0 )(km/h), các ô còn lại sẽ điền dựa vào công thức liên hệ . giữa s, v, t.

	Khoảng cách (s)	vận tốc (v)	Thời gian (t)
Xe tải	14x/5 (km)	x (km/giờ)	1h + 9/5h = 14/5 (h)
Huấn luyện viên	9y/5 (km)	y (km/giờ)	1h48p = 9/5 (h)

Giải thích: Khi hai xe gặp nhau:

• Thời gian xe buýt đi là 1 giờ 48 phút = 9/5 giờ
• Giờ xe tải khởi hành trước xe buýt 1h nên khi gặp xe buýt xe tải đã đi hết 1 + 9/5 giờ = 14/5 giờ

Hãy bắt đầu lập một phương trình thể hiện giả thuyết:

1. Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km tức là: y = x + 13 hay -x +y = 13
2. Quãng đường từ TP.HCM đi Cần Thơ dài 189 km, nghĩa là: quãng đường hai xe đi đến chỗ gặp nhau có tổng cộng là 189: 14x/5 + 9y/5 = 189

Như vậy ta đã lập được hệ phương trình để giải bài toán trên.

Giải hệ phương trình

ra x=36, y=49.

Vậy vận tốc xe tải là 36 km/h, vận tốc xe khách là 49 km/h. Chúng tôi kiểm tra lại điều kiện và trả lời vấn đề.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ được 108 km xuôi dòng và ngược dòng 63 km. Một lần khác trong 7 giờ ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc của nước và vận tốc của ca nô khi nước yên lặng.

Hướng dẫn giải:

Đây là bài toán cần giải bằng cách làm hệ chuyển động trên sông nên phải chú ý vận tốc ngược dòng và vận tốc ngược dòng.

Gọi vận tốc ca nô khi nước lặng là x (km/h) và vận tốc của nước chảy là y (km/h).

Điều kiện: x > y > 0 (Vì vận tốc ca nô dương và vận tốc ca nô luôn lớn hơn vận tốc dòng nước)

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng ca nô + vận tốc dòng nước = x + y

Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng ca nô – vận tốc dòng nước = x – y

Ca nô lần thứ nhất đi xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km trong 7 giờ nên ta có:

thời gian đi cả sông = thời gian đi tiếp + thời gian quay lại = 7

nghĩa là

Lần thứ hai ca nô đi xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km trong 7 giờ nên ta có:

Vậy ta có hệ phương trình:

Đặt (*)

Ta có hệ pt:

Giải hệ phương trình trên ta được t = 1/27 và u = 1/21. Thay t, u vào (*) để tìm x, y.

Giải hệ trên ta được x = 24 và y = 3 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc ca nô là 24 km/h, vận tốc dòng nước là 3 km/h.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Một ô tô xuất phát từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu ô tô đi với vận tốc 35 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Nếu ô tô đi với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Tìm độ dài quãng đường AB và thời điểm ô tô xuất phát tại A.

Hướng dẫn giải:

Ta sẽ gọi độ dài quãng đường AB là x (km) và thời gian dự định ô tô đi từ A đến B là y (h). (x, y>0)

Lưu ý rằng ta cần tìm thời gian xuất phát tại A của ô tô, khi đó ta chỉ cần lấy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB trừ đi 12 giờ, tức là 12 – y.

Ta lập bảng như sau:

	Khoảng cách	Tốc độ	Thời gian
Kế hoạch	x	x/y km/giờ	y
giả định 1	x	35 km/giờ	x/35
giả định 2	x	50 km/giờ	x/50

Giả sử 1, ô tô đi với vận tốc 35 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ, tức là:

Theo giả thiết 2, ô tô đi với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có:

Vậy hệ phương trình của chúng ta sẽ là:

Ta được kết quả x = 350 và y = 8 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy quãng đường AB là 350 km và thời gian ô tô xuất phát tại A là 4(=12-8) giờ sáng.

Dạng 2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tính năng suất

Đây là dạng toán quen thuộc khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, tuy nhiên các em cần nắm rõ các đại lượng của dạng toán này.

1. Bài toán năng suất có 3 đại lượng: khối lượng công việc, năng suất Và thời gian.
2. Mối quan hệ giữa ba đại lượng:
   • Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian
   • Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian
   • Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất
3. Vấn đề công việc chung, công việc riêng, vòi chung hay riêng, chúng ta thường coi toàn bộ công trình là một đơn vị.
   • Sản lượng là 1 / Thời gian.
   • Lập phương trình như sau: Tổng sản lượng cụ thể = Sản lượng chung.

Sau đây, hãy làm một ví dụ để hiểu cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dưới dạng năng suất:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Hai đội công nhân làm chung một đoạn đường trong 24 ngày. Mỗi ngày đội A làm được một nửa số công việc đội B. Nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Hướng dẫn giải:

Chúng tôi lưu ý rằng toàn bộ con đường được coi là một công việc.

Còn nếu 2 đội cùng làm trong 24 ngày thì xong, nghĩa là 2 đội làm được 1/24 công việc trong 1 ngày.

Đội A làm một nửa công việc so với đội B, tức là 1,5 lần. Ở đây ta nói về năng suất của đội A gấp 1,5 lần năng suất của đội B.

Người ta hỏi thời gian (số ngày) mỗi đội một mình hoàn thành công việc, khi đó ta còn gọi số ngày một mình đội A và B hoàn thành công việc là x, y (>0) tương ứng.

Ta có thể dùng bảng để dễ dàng thấy được mối quan hệ giữa các đại lượng.

	Công việc	Thời gian	Năng suất
chia sẻ	Đầu tiên	24 (ngày)	24/1
Đội A	Đầu tiên	x (ngày)	1/x
Đội MUA	Đầu tiên	y (ngày)	1/năm

Mỗi ngày đội A làm 1/x công việc, đội B làm 1/y công việc và năng suất của đội A gấp 1,5 lần đội B nên ta có phương trình:

Nếu hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong, vậy mỗi ngày hai đội cùng làm thì được 1/24 công việc. Ta có phương trình:

Vậy ta có hệ phương trình

Giải hệ trên bằng cách đặt ẩn số phụ

Ta được kết quả u = 1/40, v = 1/60. Vậy x = 40 và y = 60.

Cả hai kết quả đều thỏa mãn, vì vậy chúng tôi trả lời:

Đội A làm một mình trong 40 ngày thì xong công việc, đội B làm một mình trong 60 ngày thì xong công việc.

* Ta có thể giải bài toán trên bằng cách gọi x là năng suất của tổ A, y là năng suất của tổ B và lập hệ phương trình.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Nếu hai vòi cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể nước. Nếu mở riêng từng vòi thì sau bao lâu mỗi vòi sẽ đầy bể ?

Hướng dẫn giải:

Ta gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy riêng vào bể là x, y (>0) (phút).

	ống thổi	Thời gian	Năng suất
dòng chảy chung	Đầu tiên	1 giờ 20 phút = 80 phút	xe tăng 1/80
vòi đầu tiên	Đầu tiên	x phút	1/x xe tăng
vòi thứ hai	Đầu tiên	y phút	bể 1/năm

Vì vậy, nếu mở vòi 1 trong 10 phút, chúng ta nhận được 10/x bể chứa và nếu mở vòi 2 trong 12 phút, chúng ta nhận được 12/năm bể chứa, tổng cộng chúng ta nhận được 2/15 bể nước.

Rút ra phương trình:

Hai vòi cùng chảy thì 80 phút sẽ đầy bể nên tỉ số hai vòi chảy trong một phút là 1/80, tức là:

Ta có hệ phương trình gồm 2 phương trình trên và đặt ẩn u = 1/x, v = 1/y để giải.

Ta được u = 1/120, v = 1/240, suy ra x = 120, y = 240 rồi so sánh các điều kiện thỏa mãn rồi ra đáp số:

Vòi thứ nhất chảy riêng vào bể sau 120 phút.

Vòi thứ hai chảy riêng trong bể sau 240 phút.

Video bài giảng năng suất:

Loại 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về số và chữ số

Đó là các bài toán liên quan đến số: số liên tiếp, tổng, hiệu, tích,… giữa các số hay cấu tạo số, chữ số. Chúng ta cần có kiến ​​thức về số và chữ số.

Khi giải các bài toán về số và số, hãy nhớ rằng:

1. Nếu A hơn B k thì A – B = k hay A = B + k.
2. Hai số liên tiếp là 1 nhỏ hơn 1.
3. Nếu A gấp k lần B thì A = kB
4. Nếu A bằng 1/2 B thì A = B.1/2

4. Số có hai chữ số

trong đó x > 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 9, y lớn hơn hoặc = 0 và y nhỏ hơn hoặc bằng 9.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 1 và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới (có hai chữ số) nhỏ hơn số cũ 27 đơn vị.

Hướng dẫn giải:

Ta cần tìm hai chữ số là hàng chục và hàng đơn vị nên đều là số tự nhiên ta viết được số mới là số có hai chữ số nên hai số cần tìm phải khác 0.

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y.

Khi đó số cần tìm có hoành độ là 10x + y và số mới khi viết ngược lại có hoành độ là 10y + x.

Hai số mới và cũ có quan hệ với nhau như sau: số mới bé hơn số cũ 27 đơn vị, tức là:

(10x + y) – (10y + x) = 27 => x – y = 3.

Và 2 lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, ta có:

2y – x = 1 hoặc -x + 2 = 1.

Từ đó ta có hệ phương trình:

Giải hệ trên ta được x = 7, y = 4. Vậy số cần tìm là 74.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 2 và dư là 124.

Hướng dẫn giải:

Gọi số lớn là x và số bé là y (x, y > 0 và thuộc N).

Tính tổng chúng bằng 1006 ta có phương trình:

x + y = 1006

Nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương là 2 và dư là 124, tức là:

x = 2y + 124 => x – 2y = 124

Ta có hệ phương trình sau:

Giải hệ trên ta được x = 712, y = 294. (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số lớn cần tìm là 712 và số bé là 294.

Bài giảng về cách giải bài toán về dãy số và dãy số:

Dạng 4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình trong hình học

Khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hình học, chúng ta cần nhớ các công thức tính diện tích các hình thường gặp như tam giác vuông, hình chữ nhật, hình vuông.

Các công thức diện tích cần nhớ:

Sau đây là một ví dụ giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hình học.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Tính độ dài hai cạnh của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh thêm 3 cm thì diện tích tam giác tăng thêm 36 cm², và nếu giảm một cạnh đi 2 cm thì cạnh kia giảm đi 4 cm. Diện tích tam giác giảm đi 26 cm².

Hướng dẫn giải:

Gọi 2 cạnh của tam giác vuông là x, y (>0) (cm)

Ta có diện tích xy/2.

Nếu tăng mỗi cạnh thêm 3 cm thì diện tích tam giác tăng thêm 36 cm² tức là:

(x+3)(y+3)/2 = xy/ 2+ 36 hoặc x + y = 21

Nếu bớt một cạnh đi 2 cm và giảm cạnh kia đi 4 cm thì diện tích tam giác giảm đi 26 cm² tức là

(x – 2)(y – 4)/2 = xy/2 – 26 hoặc x + 2y = 30.

Giải hệ hai phương trình trên ta được x = 12, y = 9 (thoả mãn điều kiện)

Vậy hai góc vuông của tam giác vuông là 12 cm, 9 cm.

Dạng 5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dưới dạng tỉ số phần trăm

Hãy xem ví dụ sau để hiểu cách làm toán liên quan đến tỷ số phần trăm:

Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, đã bao gồm thuế giá trị gia tăng (GTGT) với thuế suất 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế GTGT là 9% cho cả hai loại hàng hóa thì người đó phải trả tổng cộng là 2,18 triệu đồng. Nếu chưa tính thuế GTGT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Hướng dẫn giải:

Ta gọi giá chưa bao gồm thuế GTGT của hàng hóa 1 và 2 lần lượt là x, y (>0) (triệu đồng).

Nếu thuế suất thuế GTGT loại 1 là 10%, loại 2 là 8% thì số tiền phải nộp là: 110%x + 108%y = 2,17

Nếu VAT là 9% cho cả hai mặt hàng, thì người đó phải trả: 109%(x + y) = 2,18.

Giải hệ hai phương trình trên ta được: x = 0, 5 và y = 1,5 (thoả mãn đk)

Vậy người đó phải trả 0,5 triệu cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu cho loại hàng thứ hai chưa bao gồm thuế GTGT.

Như vậy bài viết đã đi qua các dạng bài toán bằng cách lập hệ phương trình, hi vọng bài viết sẽ giúp các bạn ôn tập và làm bài hiệu quả.

Hãy like và share cho bạn bè nếu thấy bài viết hữu ích.