tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,…) là một trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài toán tương đối. khó và đòi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt trong từng bài toán.

Bài viết này sẽ chia sẻ với các bạn một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của một biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,…) thông qua một số bài tập minh họa cụ thể.

° Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến)

– Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức, ta có thể biến đổi biểu thức về dạng: A ²(x) + const ;(Một biểu thức theo x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x ²+ 2x – 3. Tìm giá trị của A.

° Giải pháp:

– Ta có: A = x ²+ 2x – 3 = x ²+ 2x + 1 – 1 – 3 = (x + 1) ²– 4

– Vì (x + 1) ²0 (x + 1) ²– 4≥ -4

⇒ A ≥ – 4 dấu bằng xảy ra, tức là A = – 4 x + 1 = 0 x = -1

– Kết luận: A _{tối thiểu}= -4 khi và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x ²+ 6x – 5. Tìm giá trị của A.

° Giải pháp:

– Ta có: A = -x ²+ 6x – 5 = -x ²+ 6x – 9 + 9 – 5 = -(x – 3) ²+ 4 = 4 – (x – 3) ²

Tham Khảo Thêm: Xem hơn 100 ảnh về hình vẽ thiên thần có cánh

– Vì (x – 3) ²≥ 0 ⇒ -(x – 3) ²≤ 0 ⇒ 4 – (x – 3) ²4

⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, nghĩa là A = 4 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

– Kết luận: A _{tối đa}= 4 khi và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức: $small A=frac{1}{x^2+2x+5}$

– Tìm x để A _{tối đa}; tính A _{tối đa}=?

° Giải pháp:

– Để A đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức (x ²+ 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

– Ta có: x ²+ 2x + 5 = x ²+ 2x + 1 + 4 = (x + 1) ²+ 4

– Bởi vì (x + 1) ²≥ 0 nên (x + 1) ²+ 4 ≥ 4

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vì thế $small Min_{(x^2+2x+5)}=4Leftrightarrow x=-1$

$small Rightarrow Max_{A}=frac{1}{4}Leftrightarrow x=-1$

Hay học hỏi dn1

° Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến)

– Tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, sử dụng tính chất của biểu thức không âm như:

$small sqrt{-A^{2}(x)+b}le sqrt{b}; extrm{ }(0le b)$ hoặc $small sqrt{b}lesqrt{A^{2}(x)+b}; extrm{ }(0le b)$

– Dấu “=” xảy ra khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: $small A = 9+sqrt{2x^2-4x+5}$

° Giải pháp:

– Chúng tôi thấy: $sqrt{2x^2-4x+5}=small sqrt{(2x^2-4x+2)+3}$

$small =sqrt{2(x^2-2x+1)+3}=sqrt{2(x-1)^2+3}$

Vì (x – 1) ²≥ 0 ⇒ 2(x – 1) ²≥ 0 ⇒ 2(x – 1) ²+ 3 3

nên $small Rightarrow sqrt{2(x-1)^2+3}>=sqrt{3}$ dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{min}=9+sqrt{3}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: $small A=sqrt{-3x^2+6x+2}$

° Giải pháp:

– Chúng ta có: $A=\sqrt{-3x^2+6x+2}=\sqrt{(-3x^2+6x-3)+3+2}$

$small =sqrt{-3(x^2-2x+1)+5}=sqrt{-3(x-1)^2+5}$

Bởi vì (x – 1) ²≥ 0 ⇒ -3(x – 1) ²≤ 0 ⇒ -3(x – 1) ²+ 5 ≤ 5

nên $small Rightarrow sqrt{-3(x-1)^2+5}lesqrt{5}$ dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{max}=sqrt{5}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{x^2+y^2-2xy+2x-2y+7}+2y^2-8y+2020$

° Giải pháp:

– Chúng ta có: $small sqrt{(x^2+y^2-2xy)+(2x-2y)+7}+2y^2-8y+2020$

$small =sqrt{(x-y)^2+2(x-y)+7}+(2y^2-8y+8)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)^2+2(x-y)+1]+6}+2(y^2-4y+4)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)+1]^2+6}+2(y-2)^2+2012$

small Rightarrow A>=sqrt{6}+2012 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là small 2012+sqrt{6} đạt được khi:

Tham Khảo Thêm: Xem hơn 48 ảnh về hình vẽ ấm trà

$small left{egin{matrix} x-y+1=0\ y-2=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x= 1\ y=2 end{matrix} ight.$

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức: $small dpi{100} small A=frac{1}{x-sqrt{x}+2}$

° Giải pháp:

– Điều kiện: x≥0

– Để A đạt giá trị lớn nhất thì small x-sqrt{x}+2 giá trị tối thiểu

– Chúng ta có: $small x-sqrt{2}+2=left (sqrt{x} ight )^2-2.frac{1}{2}sqrt{x}+frac{1}{4}-frac{1}{4}+2$

$small =left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}$

Lại có: $small left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2>=0,forall x>=0$ $small Rightarrow left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}>=frac{7}{4},forall x>=0$

Dấu “=” xuất hiện khi $small sqrt{x}-frac{1}{2}=0Leftrightarrow x=frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow Min(x-\sqrt{x}+2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow MaxA=\frac{4}{7}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

– Kết luận: Giá trị của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến)

– Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của giá trị tuyệt đối.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: small A=5-|2x-2|

° Giải pháp:

– Ta có: |2x – 2| ≥ 0 ⇔ -|2x – 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x – 2| 5

Dấu “=” xảy ra khi |2x – 2| = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy A _{tối đa}= 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của biểu thức: A = |9 – x| – 3

° Giải pháp:

– Ta có: |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| – 3 -3

Dấu “=” xảy ra khi |9 – x| = 0 ⇔ 9 – x = 0 ⇔ x = 9

Vậy A _{tối thiểu}= -3 x = 9

Như vậy, các bài toán trên đều dựa vào các phép biến đổi tổng hoặc hiệu của các biểu thức không âm (bình phương, giá trị tuyệt đối, …) và các hằng số để tìm lời giải. Trong thực tế có rất nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số không âm a, b: small a+b>=2sqrt{ab} (Dấu “=” xảy ra khi a = b) hoặc áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: small |a|+|b|>=|a+b| (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); small |a-b|le|a|+|b| , (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

Tham Khảo Thêm: bài tập về so sánh hơn và so sánh nhất

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $small M=frac{a}{b}+frac{b}{a}, extrm{ }forall a,b>0$

° Giải pháp:

– Vì a,b>0 nên $small frac{a}{b}>0; extrm{ }frac{b}{a}>0$

– Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (hay còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)).

$small frac{a}{b}+frac{b}{a}>=2sqrt{frac{a}{b}.frac{b}{a}}=2$

Dấu “=” xuất hiện khi $small frac{a}{b}=frac{b}{a}Leftrightarrow a=b$

– Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $small M=a+frac{1}{a-1}, extrm{ }forall a>1$

° Giải pháp:

– Vì a > 1 nên a – 1 > 0 nên ta có:

$small a+frac{1}{a-1}=a-1+frac{1}{a-1}+1$ [Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được]

$small a-1+frac{1}{a-1}+1>=2sqrt{(a-1)left ( frac{1}{a-1} ight )}+1=2+1=3$

Dấu “=” xuất hiện khi $small a-1=frac{1}{a-1}Leftrightarrow (a-1)^2=1Leftrightarrow Leftrightarrow left [egin{matrix} a=2\ a=0 end{matrix} ight.$

So sánh điều kiện a > 1, vì vậy bạn chỉ nhận được a = 2; gõ a=0.

– Kết luận: Giá trị của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của một biểu thức trên giúp các em hiểu rõ hơn về dạng toán này.

Vận dụng vào từng bài toán đòi hỏi kỹ năng giải toán của trẻ, kỹ năng này có được khi bạn “miệt mài” làm qua nhiều bài tập, chúc các bạn học tập đạt kết quả tốt nhất.

Đăng bởi: THPT Lê Hồng Phong

Thể loại: Giáo dục