Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng Đây là dạng bài toán xuất hiện nhiều trong các kỳ thi THPT quốc gia và trong các kỳ thi thử của các trường trên cả nước. Vậy làm thế nào để ôn tập và làm tốt dạng toán này? Bài viết sau đây mình sẽ hướng dẫn các em cách tư duy dạng toán này. Đồng thời tôi cũng chỉ cho các em một số phương pháp sắp xếp theo thứ tự ưu tiên để giải toán. Đọc bài viết để tìm hiểu thêm.

Tham gia Group để nhận nhiều tài liệu hay và hỗ trợ miễn phí từ mình: Bấm vào đây!

I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM M ĐỂ HÀM PHÂN BIẾN

Vấn đề: Cho hàm số f(x,m) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a;b). Tìm giá trị của m để hàm số f(x,m) đơn điệu trên khoảng (a;b).

1. GIẢI BÀI TOÁN TÌM M ĐỂ HÀM SỐ BẬC NHẤT TRÊN KHOẢNG

Trước hết ta có định lý sau: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x)≥0 với mọi giá trị x trong khoảng (a;b). Dấu = chỉ có thể xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

Tương tự, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x)≤0 với mọi giá trị của x trong khoảng (a;b). Dấu = chỉ có thể xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

Như vậy, để hàm số   f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì f(x) cần xác định và liên tục trên khoảng (a; b).

Vì vậy để giải quyết vấn đề tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước hoặc tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng cho trước Chúng ta nên làm theo trình tự sau:

• Kiểm tra bộ định nghĩa: Do bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).
• Tính đạo hàm và tìm điều kiện của tham số để đạo hàm không âm (âm) hoặc không dương (dương) trên khoảng (a;b): Theo định lý trên ta cần xét dấu của đạo hàm trên khoảng (a; b). Vì vậy, tất nhiên chúng ta phải tính đạo hàm.

2. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TỔNG HỢP VỚI CÁC THÔNG SỐ

Ở bước này, bạn cần đưa ra lựa chọn phương pháp đánh giá đạo hàm. Theo thứ tự bạn nên ưu tiên như sau:

• Tính đạo hàm: Rõ ràng nếu đạo hàm có nghiệm đặc biệt hoặc biết tất cả các nghiệm thì ta dễ dàng tìm được dấu của nó. Vì vậy chúng ta phải ưu tiên cách này trước.
• Cô lập tham số m: Lấy tham số m từ bất đẳng thức f'(x,m)≥0 với mọi x trong khoảng (a;b), chẳng hạn. Ta được bất đẳng thức dạng m≥g(x) với mọi x trong khoảng (a;b). Hay m≤g(x) với mọi x trong khoảng (a;b). Sau đó lưu ý rằng nếu g(x) có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất thì: Và trong trường hợp không có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì ta có thể xét cận trên thực hoặc cận dưới thực của g(x). Và bây giờ dấu = cần xem xét cẩn thận.
• Vận dụng kiến ​​thức về nghiệm và dấu của tam thức bậc hai: Nếu không dùng được hai cách trên nữa thì phải vận dụng các kiến ​​thức về nghiệm và dấu của tam thức bậc hai để giải.

Bộ đề thi thử trực tuyến có lời giải chi tiết: liên tục

II. VÍ DỤ TÌM M ĐỂ HÀM ĐỒNG GIÁC TRÊN INTERVAL INVOVABLE

1. TÌM M ĐỂ CHỨC NĂNG ĐỒNG HÀNH TRÊN R INVERTER R

Trong chương trình, đây là dạng toán thường gặp về hàm đa thức bậc 3. Nếu là hàm đa thức bậc 3, ta có thể vận dụng kiến ​​thức sau:

Ví dụ:

Câu trả lời:

2. TÌM HÀM SỐ TRÊN MỖI KHOẢNG XÁC ĐỊNH

Trong chương trình phổ thông, chúng ta thường gặp dạng toán này về hàm số tuyến tính (hay hàm số phân số bậc 1 trên bậc 1). Đối với chức năng này, chúng ta có thể áp dụng các kiến ​​thức sau:

Ví dụ:

Câu trả lời:

3. VÍ DỤ VỀ KINH NGHIỆM CỦA ĐẠO HAMA

Ví dụ:

Cho hàm số y=x³-(m+1)x²-(m²-2m)x+2020. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 1).

Câu trả lời:

Bộ đề thi thử trực tuyến có lời giải chi tiết: liên tục

4. VÍ DỤ VỀ CÁCH BIẾT THAM SỐ MÃ

Ví dụ:

Cho hàm y=x³+mx²+2mx+3. Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0,2).

Câu trả lời:

5. VÍ DỤ VỀ CÁC HÀM TUYẾN TÍNH ĐƠN TIẾP TRONG MỘT KHOẢNG CHO BIẾT

Với hàm tuyến tính có tham số, bạn cần chú ý các trường hợp hàm suy biến. Cụ thể, chúng ta cần xem xét trường hợp hàm suy biến thành hàm bậc nhất (nếu có). Còn trường hợp hàm số suy biến đến hằng số thì không cần xét vì trường hợp này hàm số cũng không phải là hàm số đơn điệu. Sau khi xét trường hợp suy biến (nếu có), em vận dụng kiến ​​thức sau để giải bài toán.

Ví dụ 1:

Câu trả lời:

Ví dụ 2:

Câu trả lời:

Trên đây là phương pháp và một số ví dụ tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn.

Xem thêm:

Tính đơn điệu của hàm số là gì?