tìm m để hàm số đồng biến trên r

Hình thức và phương pháp giải quyết vấn đề tìm m để hàm số đồng biến và nghịch biến trên R Toán 12 từ cơ bản đến nâng cao. Để thành thạo dạng toán này, trước hết các em cần nắm vững các định lý về tính đơn điệu của hàm số thông qua các bài học cùng chủ đề.

Bạn đang xem: tìm m để hàm số đồng biến trên r

Hàm số đơn điệu trên R khi nào?

Hàm đơn điệu trên R tức là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Để có được điều này người ta thường xét đạo hàm của hàm số đó. Nếu đạo hàm của một hàm số dương trên R, thì hàm số đó đồng biến trên R. Ngược lại, nếu hàm số luôn âm trên R, thì hàm số đó nghịch biến. Dựa vào tính chất này ta dễ dàng tìm được miền điều kiện của tham số m theo yêu cầu bài toán.

Các đa thức bậc chẵn (2, 4, 6, ...) không thể đơn điệu trên ℝ. Do đó với dạng toán tìm m để hàm số đơn điệu trên ℝ ta chỉ xét các hàm đa thức bậc lẻ.

Tìm m để hàm số đồng biến trên R, nghịch biến trên R

Để giải dạng tham số m sao cho hàm số đơn điệu trên R, ta thực hiện theo 3 bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số

2. Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm

3. Tranh luận về khoảng âm dương của đạo hàm

4. Biện luận và kết luận khoảng của tham số m theo đề bài

Dưới đây là 3 dạng toán điển hình về hàm số đồng biến, nghịch biến trên R theo từng loại hàm số.

bài tập sắp xếp

Dạng 1. Hàm số nghịch biến trên R

phương pháp giải

Xét hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0), ta có hai trường hợp như sau:

• Hàm số y = ax + b (a 0) đồng biến khi và chỉ khi a > 0
• Hàm số y = ax + b (a 0) nghịch biến khi và chỉ khi a < 0

Bài tập áp dụng

Câu hỏi 1. Tìm m để hàm số f(x) = (m + 3)x + 4 đồng biến trên R.

A. m -3

B. m > -3

C.m < 2

D.m -3

Câu trả lời

Ta có f'(x) = m + 3

Để hàm số f(x) đồng biến trên R thì f'(x) > 0 với mọi x ϵ R

m + 3 > 0

m > -3

Chọn đáp án B. m > -3

Câu 2. Tìm m để hàm số f(x) = -3mx + 4 nghịch biến trên R.

A. m > 0

b. m -3

C.m < 0

D.m -3

Câu trả lời

Ta có f'(x) = -3m

Để hàm số f(x) nghịch biến trên R thì f'(x) < 0 với mọi x R

-3m < 0

m > 0

Chọn đáp án A. m > 0

Dạng 2. Hàm số bậc ba đồng biến trên R

phương pháp giải

Xét hàm bậc ba y = ax ³ + bx ² + cx + d (a 0)

Đạo hàm y' = 3ax ² + 2bx + c

Trường hợp 1: a = 0 (nếu có tham số) thì hàm số về bậc chẵn và không bao giờ đơn điệu trên ℝ.

Trường hợp 2: a ≠ 0

Hàm đồng biến trên ℝ:

Hàm nghịch đảo trên ℝ:

Kết hợp với yêu cầu của bài toán, ta kết luận được khoảng giá trị của tham số m.

Bài tập áp dụng

Câu hỏi 1. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m ² – 1) x ³ + (m – 1)x ² – x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

MỘT.0

B. 3

C. 2

D.1

Câu trả lời

Chọn kích cỡ

TH1: m = 1. Ta có: y = -x + 4 là phương trình của đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó lấy m=1.

TH2: m = -1. Ta có: y = – 2x ² – x + 4 là phương trình của một parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.

TH3: m ≠ 1 .

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y' ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ. Dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên ℝ.

3(m ² – 1) x ² + 2(m – 1) x – 1 ≤ 0 ∀ x ℝ

Vì m , m = 0

Vậy có 2 giá trị nguyên của m cần tìm là m=0 hoặc m=1.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = (m ² - m) x ³ + 2mx ² + 3x–2 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A. 4

B. 5

c.3

D. 0

Câu trả lời

Chọn một

y' = (m ² - m) x ² + 4mx + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y' ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ.

+ Với m = 0 ta có y' = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

+ Với m = 1 ta có y' = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

+ Với ta có y' ≥ 0 x ∊ ℝ

Tóm tắt các trường hợp, chúng tôi nhận được -3 m ≤ 0

Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2; -Đầu tiên; 0}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số sau đồng biến (–∞; +∞):

MỘT.

b.

C.

Đ.

Câu trả lời

Chọn XÓA

Ta có: y' = (m - 1)x 2 + 2mx + 3m – 2

Xét khi m = 1, ta có y' = 2x + 1.

Vậy hàm số đã cho không là hàm số đồng biến trên (–∞; +∞).

⇒ m = 1 không thỏa mãn.

Cân nhắc khi m ≠ 1, ta có hàm đồng biến trên (–∞; +∞).

Vì vậy: tôi ≥ 2.

Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số sau đây đồng biến trên R:

A. 6

B. Vô số

C. 5

mất 7

Câu trả lời

Chọn DỄ DÀNG

Ta có: y' = mx 2 – 4mx + 3m + 6

Trường hợp 1: Nếu m = 0 ⇒ y' = 6 > 0, ∀ x ∈ ℝ

⇒ chức năng đồng biến trên ℝ nên m = 0 thỏa mãn.

Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0, hàm đã cho đồng biến trên ℝ.

mà: m ∈ ℤ ⇒ tôi ∈ {Đầu tiên; 2; 3; 4; 5; 6}

Từ hai trường hợp trên ta được m ∈ {0; Đầu tiên; 2; 3; 4; 5; 6}.

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng [–2020; 2020] sao cho hàm số f(x) = (m – 1)x 3 + (m – 1)x 2 + (2x + 1)x + 3m – 1 đồng biến ở trên ℝ .

A. 2018

T.2020

c.năm 2019

D. 2021

Câu trả lời

Chọn XÓA

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: f'(x) = 3(m – 1)x 2 + 2(m – 1)x + 2m + 1

Cho hàm số đã cho đồng biến trên ℝ thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ (*).

(Dấu “=” xảy ra tại x hữu hạn ∈ ℝ )

Xem thêm: cách vẽ huy hiệu đoàn

Trường hợp 1: m – 1 = 0 ⇔ m = 1

Ta có: f'(x) = 3 > 0, ∀ x ∈ ℝ

Vậy hàm đồng biến trên ℝ ⇒ m = 1 (nhận).

Trường hợp 2: m ≠ Đầu tiên

Cho hàm số đã cho đồng biến trên ℝ thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ .

Kết hợp 2 trường hợp ⇒ : có 2020 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6. Cho hàm y = f(x) = x 3 + mx 2 + 2x + 3. Đặt tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ Được:

MỘT.

b.

C.

Đ.

Câu trả lời

Chọn DỄ DÀNG

Ta có: f'(x) = 3x 2 + 2x + 2

chức năng đồng biến trên ℝ ⇔ f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ

Câu 7. Cho hàm y = –x 3 – mx 2 + (4m + 9)x + 5 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số trên nghịch biến? ℝ ?

MỘT.0

B. 6

C. 5

mất 7

Câu trả lời

Chọn DỄ DÀNG

Ta có: y' = –3x 2 – 2mx + 4m + 9

Hàm nghịch biến trên ℝ ⇔ bạn' ≤ 0, ∀ x ∈ ℝ (Dấu “=” xảy ra tại x hữu hạn ∈ ℝ ).

⇔ –3x 2 – 2mx + 4m + 9 ≤ 0, ∀ x ∈ ℝ

' 0 (vì a = –3 < 0)

⇔ tôi 2 + 3(4m + 9) ≤ 0

⇔ tôi 2 + 12m + 27 ≤ 0

⇔ –9 ≤ tôi ≤ -3

Vậy: có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 8. Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m sao cho f(x) = 2mx 3 – 6x 2 + (2m – 4)x + 3 + m nghịch biến trên ℝ Được?

A. –3

B. 2

C.1

D. –1

Câu trả lời

Chọn DỄ DÀNG

Ta có: f'(x) = 6mx 2 – 12x + 2m – 4

+) Với m = 0 ⇒ f'(x) = –12x – 4 ⇒ f'(x) ≤ 0 ⇔ ∀ x ∈ (không đạt yêu cầu)

+) Với m ≠ 0. Hàm nghịch biến trên ℝ ⇔ f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ ℝ

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m là -1.

Câu 9. Tìm các giá trị thực của m để hàm số đồng biến trên ℝ .

A. [4; +∞)

B. (4; +∞)

C. (–∞; 4)

D. (–∞; 4]

Câu trả lời

Chọn một

Tập xác định của hàm số: D = ℝ

Ta có: y' = x 2 – 4x + m

chức năng đồng biến trên ℝ ⇔ y' = x 2 – 4x + m ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số sau đây nghịch biến :

A. 6

B 4

C. 5

mất 3

Câu trả lời

Chọn DỄ DÀNG

Ta có: y' = –x 2 – 2(m – 1)x + m – 7

Hàm nghịch biến trên ℝ ⇔ f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ ℝ

làm tôi ∈ ℕ * nên tôi ∈ {Đầu tiên; 2; 3}

Vậy có 3 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Dạng 3. Hàm số đồng biến nghịch biến trên R

phương pháp giải

Để hàm số y = f(x) đơn điệu trên ℝ thì phải thỏa mãn hai điều kiện:

• Hàm y = f(x) được xác định trên ℝ.
• Hàm y = f(x) có đạo hàm không đổi trên ℝ.

Đối chiếu cả hai điều kiện trên ta xác định được tham số m sao cho hàm số đơn điệu trên ℝ.

Để hàm số đồng biến trên ℝ thì:

Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì:

Bài tập áp dụng

Câu hỏi 1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

MỘT.

B. y = x ³ + x

C. y = -x ³ – 3x

Đ.

Câu trả lời

Chọn XÓA

Vì y = x ³ + x ⇒ y' = 3x ² + 1 > 0 x ℝ

Câu 2. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A. y = x ⁴ + 3 lần ²

b.

C. y = 3x ³ + 3x – 2

D. y = 2x ³ – 5x + 1

Câu trả lời

Chọn kích cỡ

Hàm số y = 3x ³ + 3x – 2 có TXĐ D =

y' = 9x ² + 3 > 0 x ℝ

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

Câu 3. Gọi S  là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên ℝ. Tổng giá trị của tất cả các phần tử trong S bằng

MỘT.

B. 2

C.

Đ.

Câu trả lời

Chúng ta có

f(x) = m ² x ⁴ – mx ² + 20x – (m ² – m – 20) = m ² (x ⁴ – 1) – m(x ² – 1) + 20(x + 1)

= m ² (x + 1)(x – 1)(x ² + 1) – m(x – 1)(x + 1) + 20(x + 1)

= (x + 1)[m ² (x – 1)(x ² + 1) – m(x – 1) + 20]

f'(x) = 0

Ta có f'(x) = 0 có nghiệm đơn giản là x = -1 nên nếu (*) không nhận x = -1 là nghiệm thì f'(x) đổi dấu thành x = -1. Do đó, để f(x) đồng biến trên ℝ thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ hoặc (*) coi x = -1 là nghiệm (bậc lẻ).

suy ra m ² (-1 – 1)(1 + 1) – m(-1 – 1) + 20 = 0 -4m ² + 2m + 20 = 0

Tổng các giá trị của m là .

Người giới thiệu

1. Thông tin tài liệu

2. Mục lục tài liệu

• Tài liệu gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án chi tiết.

3. Xem tài liệu

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và bài tập cho dạng bài tập tìm m để hàm số đồng biến và nghịch biến trên R . Hi vọng qua bài giảng trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán nâng cao, mở rộng.