một phương trình hợp lệ là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm là gì? Lý thuyết và cách giải bài toán về phương trình có nghiệm? Trong bài viết sau đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN Tìm hiểu về chuyên đề phương trình có nghiệm là gì cũng như điều kiện để phương trình có nghiệm nhé!

một phương trình hợp lệ là gì?

Định nghĩa của một phương trình hợp lệ

• Trong toán học, một phương trình là một mệnh đề biến đổi có dạng:

\(f(x_{1}, x_{2},…) = g(x_{1}, x_{2},…)\)     (1)

\(h(x_{1}, x_{2},…) = f(x_{1}, x_{2},…) – g(x_{1}, x_{2},…)\)     (2 )

\(h(x_{1}, x_{2},…) = 0\)     (3)

\(ax^{2} + bx + c = 0\) (4)

Trong đó \(x_{1}, x_{2}\),… được gọi là các biến của phương trình và mỗi vế của phương trình được gọi là một vế của phương trình. Ví dụ, phương trình (1) có \(f(x_1,x_2,…)\) ở vế trái, \(g(x_1,x_2,…)\) ở vế phải.

Trong (4) chúng ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến.

• Nghiệm của phương trình là tập tương ứng của \(x_{1}, x_{2},…\) sao cho khi thay vào phương trình ta được một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau.

Công thức chung

• Phương trình \(f(x) = 0\) với a j được gọi là nghiêm ngặt của phương trình khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} x = a\\ f(a) = 0 \end{ matrix}\right.\), điều này xác định tương tự cho các phương trình khác như \(f(x,y,z,..) = 0, a\in S \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix } x = a \\ y = b\\ z = c\\ f(a,b,c) = 0 \end{matrix}\right.\)
• Giải một phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Trường hợp tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu: \(S = \left \{ x,y,z,…\left. \right \}\right.\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm

Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm

• Theo quan hệ tiếng Việt, nếu phương trình bậc hai \(ax^{2} + bx + c = 0 (a\neq 0)\) có nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thì \( S = x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}; P=x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}\)

Do đó điều kiện cho một phương trình bậc hai:

• Có hai nghiệm dương: \(\Delta \geq 0; P > 0; S > 0\)
• Có hai nghiệm âm: \(\Delta \geq 0; P > 0; S< 0\)
• Có 2 nghiệm trái dấu: \(\Delta \geq 0; P< 0\)

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm

• Cho hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} ax + by = c (d) (a^{2} + b^{2} \neq 0)\\ a’x + b’y = c’ (d’) (a’^{2} + b'{2} \neq 0) \end{matrix}\right.\)
• Hệ phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\) (d) cắt (d’) \(\Leftrightarrow \frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’} (a’, b’ \neq 0)\)
• Hệ phương trình có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\) (d) trùng (d’) \(\Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c } {c’} (a’,b’, c’\neq 0)\)
• Hệ phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow (d)\parallel (d’) \Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’ } (a’,b’,c’ \neq 0)\)

Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm

• Phương trình \(\sin x = m\)
• Phương trình có nghiệm nếu \(\left | m \right |\leq -1\). Sau đó ta chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(\sin \alpha = m\) thì nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \ \x = \pi – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\)
• Phương trình \(\cos x = m\)
• Phương trình có nghiệm nếu \(\left | m \right |\leq -1\). Sau đó ta chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha = m\) thì nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \ \x = – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\)
• Phương trình \(\tan x = m\)
• Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\tan x = m\). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
• Phương trình \(\csc x = m\)
• Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\csc \alpha = m\). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Các dạng toán về phương trình có nghiệm

Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình \(x^{2} – 2(m+3)x + 4m-1 =0\) (1). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

Giải pháp:

Phương trình (2) có hai nghiệm dương

\(\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+3) ^ {2} – (4m-1)\geq 0\\ 4m-1>0\\ 2(m+3)>0 \end{matrix}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ( m+ 1)^{2} + 9 > 0 \forall m\\ m>\frac{1}{4}\\ m>-3 \end{matrix}\right \Leftrightarrow m>\frac{1} {4} \)

Dạng 2: Điều kiện để có nghiệm của phương trình rút gọn về phương trình bậc hai

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \(x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0\) (1)

Giải pháp:

Đặt \(x^{2} = y \geq 0\). Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là phương trình \(y^{2} + my + 2m – 4 = 0\) (3) có ít nhất một nghiệm không âm.

Ta có: \(\Delta = m^{2} – 4(2m-4) = (m-4)^{2} \geq 0\) với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn P = 2m – 4; S = -m

Điều kiện để phương trình (1) có cả hai nghiệm âm là:

\(\left\{\begin{matrix} P>0\\ S<0 \end{matrix}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m-4>0\\ -m<0 \ end {matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>2\\ m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>2\)

Vậy điều kiện để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm không âm là \(m\leq 2\)

\(\Rightarrow\) phương trình (2) có nghiệm khi \(m\leq 2\)

Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3: Tìm m số nguyên để hệ phương trình sau có duy nhất một nghiệm là nghiệm nguyên

\(\left\{\begin{ma trận} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m – 1 \end{matrix}\right.\)

Giải pháp:

Từ phương trình đầu tiên, chúng ta có \(y = \frac{m+1-mx}{2}\)

Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(2x + m\frac{m+1-mx}{2} = 2m-1\)

\(\Mũi tên trái 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2\)

\(x(m^{2} – 4) = m^{2} – 3m -2 \Leftrightarrow x(m-2)(m+2) = (m – 2)(m – 1)\)

Nếu m = 2 thì x = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = -2 thì x = 12 thì phương trình vô nghiệm

Nếu \(\left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\) thì \(x = \frac{m-1}{m+2} \) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Thay trở lại phương trình \(y = \frac{m+1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2}\)

\(\left\{\begin{matrix} x = \frac{m-1}{m+2} = 1- \frac{3}{m+2}\\ y = \frac{2m+1}{ m+2} = 2-\frac{3}{m+2} \end{matrix}\right.\)

Ta cần tìm \(m\in \mathbb{Z}\) sao cho \(x,y\in \mathbb{Z}\)

Nhìn vào công thức giải ta có: \(\frac{3}{m + 2}\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 2\in \left \{ -1,1,3,-3\right \ } \Leftrightarrow m\in \left \{ -3,-1,1.5 \right \}\)

Các giá trị này thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} m \neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến ​​thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hi vọng sẽ cung cấp cho các bạn những kiến ​​thức hữu ích cho quá trình học tập. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem bên dưới để biết chi tiết:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

• Tìm m để hàm số có 3 cực trị Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Tập
• Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy – Chuyên đề ba đường thẳng đồng quy
• Tổng hợp tất cả các công thức toán 12 quan trọng cho kỳ thi THPT quốc gia